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今日は、いくつかのパラドックスを適当に論破してみせますよ。

パラドックス・・・
簡単に言えば、こんなものです

クレタ人「クレタ人は、みな嘘つきだ」

このときこの発言者は、嘘つきとしてもも正直者としても矛盾が発生する。

詳しくはWikipediaなりGoogleなりで調べて。

無限のパラドックス
- アキレスと亀 -
あるところにアキレスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレスの方が足が速いのは明らか(注:イリアスにおいてアキレスの枕詞の一つは「駿足の」である)なので亀がハンデをもらって、いくらか進んだ地点(地点 A とする)からスタートすることとなった。

スタート後、アキレスが地点 A に達した時には亀はアキレスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる(地点 B)。アキレスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む(地点 C)。同様にアキレスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけないことになる。

- スタート -

・距離の差は x であるとする。

ア     亀
 ← x →

・アキレスが、x 進む。
その間に、亀は x/2 進むので、距離の差は x/2。

      ア   亀
← x  →←x/2→

・アキレスが、更に x 進む。
その間に、亀は x/2 進むので、距離の差は 0。

            ア
            亀
←    2x    →

追いついた。
おわり。 

~ この記事の続き ~

探求のパラドックス
探求の対象が何であるかを知っていなければ探求はできない(さもなくばそれは顔も名前も知らない人を探すようなものである)。しかし、それを知っているならば既に答えは出ているので探求の必要はない。プラトンがメノンにて指摘した。

探求の対象 : 副作用の無いがん抑制剤

・・・

・・・、で?

全能の逆説
全能者は自分が持てない石を作る事ができるか?

もし、作れたとしたら、その石を全能者は持つことが出来ない。
作れなかったら、全能者はそもそも全能ではない。

結論

全能者に対し、そのような問いかけをすることが出来ない
(全能なのだから、問いかけを出来なくすることは可能なはず)

Wikipediaの、なるほどと思った答え
>その存在は、作った時点では持ち上げられない石を作ることができる。
>しかし、その存在は全能であるから、その存在は後からいつでも、
>持ち上げられる程度に石を軽くすることができる。
>従って、その存在を全能であるというのは尚も合理的である

ちょっとやられた気分。

ハゲ頭のパラドックス
「髪の毛が一本もない人はハゲである」(前提1)
「ハゲの人に髪の毛を一本足してもハゲである」(前提2)
ここで前提1 に前提2 を繰り返し適用していく
(つまりツルッパゲの人に髪の毛を一本ずつ足していく)。
そして次の結論を得る。
「よって全ての人はハゲである」(結論)

これは詳しく答える必要もないでしょう。
ただ単に、「ハゲ」を厳密に定義していないだけ。

髪の毛を追加していく操作を加えていくうち、
観察者によって、ハゲであるかハゲでないかが分かれる部分が出る
毛の数が増えるに連れて、ハゲでないとする観察者の割合が増す。
そしていずれ、ほぼ全ての観察者がハゲでないと見なす。

ヘンペルのカラス
全称命題「全てのカラスは黒い」(「全てのxがカラスであるならば、全てのxは黒い」)という命題はその対偶「黒くないものはカラスでない」(「全てのxが黒くないならば、全てのxはカラスではない」)と同値であるので、「カラスは黒い」事を証明するには「黒くないものはカラスでない」事を証明すれば良い。 そして「黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、それらの中に一つもカラスがない事をチェックすれば証明する事ができる。 こうして、カラスを一羽も調べる事無く、「カラスは黒い」という事実が証明できてしまう。

まず突っ込ませてくれ。

「全てのxがカラスであるならば、全てのxは黒い」
これの対偶って
「xの中に黒くないものがあれば、全てのxがカラスであるとは言い切れない」
だよね。
何か違うような気がするけど?

突っ込み、以上。
論じる上では支障は無い・・・と思う。

さて、この世には、4種類のものがあります。

[1] 黒くて、カラスであるもの
[2] 黒くて、カラスでないもの
[3] 黒くなくて、カラスであるもの
[4] 黒くなくて、カラスでないもの

このとき、[3] が存在しないことを証明すれば、全てのカラスは黒いと分かります。
よって、黒くないもの([3][4])を"全て"調べ上げ、その中にカラスはいない
(「黒くないものは全て[4]である」と同値)ということを証明すればいい。

終わり。残りはWikipediaで詳しく論じられてます。

カリーのパラドックス
この文が真なら、サンタクロースは実在する。

これを論じる前に、一つの補題を出しましょう。

- 補題 -
以下の命題の真偽を考える。

「東京がアメリカの首都であれば、1+1=4 である」

「AならばB」の形の命題です。
このとき、前提であるA、すなわち「東京がアメリカの首都である」が偽の場合
(前提が満たされない場合)、この文章の真偽はどうなるのでしょうか。

そう。
知ってる方は知ってるでしょうし、
知らない方も考えれば分かるかと思いますが。

前提を満たさない条件式は、真である

この理由は、私の個人的な予測ですが
というか、もし、万が一、東京がアメリカの首都だったら
なんだか 1+1=4 になってもいいような気がしませんか?

そこらへん感覚で分かって欲しい。厳密な理由は知りませんけど。

結論 : 先に挙げた命題(東京うんぬん)は『真』となります。

- 補題ここまで -

この状態で、以下の命題を考えます。

この文が真なら、サンタクロースは実在する ・・・[A]
ここで、サンタクロースは実在しないので、[A]の文は偽になります。
[A]の文が偽と言うことは、[A]における前提(この文が真ならば)を満たさないため
補題より、[A] は真になります。

結局、[A] は真であり、ゆえにサンタクロースは実在する
という結論しか出すことが出来なくなります。

・・・
そうだよね!

サンタクロースは実在するよね!

こうすれば誰も文句は言えまい、だって存在するんだし。
おしまい。

ワニのパラドックス
人食いワニが子供を人質にとり、その母親に「自分がこれから何をするか言い当てたら、子供を食わないが、不正解なら食う」と言った。これに対し、母親が「あなたはその子を食うでしょう」といった場合、
[1] ワニが子供を食う場合、母親はワニがしようとすることを言い当てたので食べてはならない。
[2] ワニが子供を食わない場合、母親の予想が外れたのでワニは子供を食べても良いことになる。しかしそこで食べると、結果的に母親の予想は正しかった事になるため、矛盾にぶつかる。
このように、ワニが何をしようとも自己矛盾してしまい、子供を食べる事も、食べない事もできなくなってしまう。

前提が間違っている。
まるで、ワニは言ったとおりに行動するような前提ですが・・・。

ワニは、約束を守るとは限らない

ゆえに、ワニは結局、子どもを食べるでしょう。
母親が何か言っても、知ったこっちゃありません

終わり。

無限ホテルのパラドックス
無限に部屋のあるホテルは、満室であってもそれぞれ n 番目の客室の客に n + m 番目の客室に移ってもらうことにより、さらに m 人の客を泊めることができる。無限の客がやってきても、元いた客に 2n 番目の客室に移ってもらうことにより入室可能。

詳しくは、Wikipediaの項を参照して欲しい。

無限の部屋があるホテルが満室であった。
そこに、いかなる種類の「無限の客」がやってこようとも、
全ての部屋に客を格納できるというもの。

これは、自然数からなる無限集合は、
必ず1対1の関係をもつことを利用したトリックです。


ホテルの部屋の集合を A とし、a∈A をAの要素(一つの部屋)とする。
次に、やってくる客の集合を B とし、b∈B をBの要素(一人の客)とする。
さらに、A⊆N , B⊆N、各々無限集合であるとする。

このとき、AとB、それぞれ自然数Nへの単射が存在するならば
AからB および BからAの全単射が存在する。
(言い換え :
A内で数字の重複がなく、Bも同様なら、全ての a と b を1対1に対応付けることが出来る)

ここに、数字の重複がないとは
適当に a_n と a_m (n≠m)を選んだとき、必ず a_n≠a_m となること。

Aについて、Aの各要素は自然数と1対1の対応が出来るから、
( 1番目の部屋を a_1=1 , 2番目 a_2=2 , ... , i 番目の部屋を a_i=i とするだけ)
A=Nとしても問題は有りません。

ホテルに全ての客がおさまるには、BからNへの単射が存在すれば良い。
言い換えると、元いた客と新たな客全てに対し、重複しない一意的な数字(これが、ホテルの部屋番号にあたる)を割り振ることができれば、ホテルに全ての客が入ります。


あーなんか書いてて訳分からなくなって参りました。

要するに、全員が違う数字を同時にもらえればいいんよ。

ホテルのパラドックスとか言うけど、別に何もおかしくないんよ。
よく考えれば普通なんよ。
終わるんよ。

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《カテゴリ》 日記 | 《更新日》 2008/12/31 [水]
《タグ》 日記パラドックス哲学数学論理学
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